Kilka krótkich zadań z pH

Pewien mój czytelnik (Radek, serdecznie pozdrawiam, tym bardziej, że musiałeś się naczekać!) przysłał mi zadanie do rozwiązania. Czemu nie, chętnie podzielę się wiedzą i zachęcam każdego do podsyłania mi zadań do rozwiązania – powoli zbierze się tutaj pokaźna baza. 🙂

Oblicz stopień dysocjacji (α) oraz pH czystej wody oraz wodnego roztworu kwasu octowego (pKa = 4,75) o stężeniu 0,001 M w temperaturze 25°C.

Pokaż odpowiedź i szczegółowe rozwiązanie

Odpowiedź

Stopień dysocjacji czystej wody wynosi ok. $\alpha=1,80\cdot 10^{-7}\ \%$, a $\mathrm{pH = 7,0}$. W przypadku danego roztworu kwasu octowego, stopień dysocjacji wynosi ok. $\alpha=12,48\ \%$, natomiast $\mathrm{pH=3,90}$.

Rozwiązanie

CZYSTA WODA

W przypadku czystej wody sprawa jest bardzo prosta. Trzeba pamiętać, że w wodzie (oraz wszystkich roztworach wodnych) zawsze zachowany będzie pewien charakterystyczny illoczyn:

$!\mathrm{[H_3O^+][OH^-]}$

Iloczyn ten to tzw. iloczyn jonowy wody, oznaczany symbolem Kw. Ma on zawsze stałą wartość, gdy tylko stała jest temperatura (tzn. że zmienia się wraz ze zmianą temperatury). Jego wartość w T = 25°C jest wręcz mityczna i absolutnie konieczne jest jej zapamiętanie:

$!\mathrm{K_w(T=25^\circ C)=[H_3O^+][OH^-]=10^{-14}}$

W czystej wodzie stężenie jonów $\mathrm{H_3O^+}$ oraz $\mathrm{OH^-}$ jest oczywiście równe. Jeżeli nie wierzysz, wynika to oczywiście z równowagi:

$!\mathrm{2\ H_2O\rightleftharpoons H_3O^+ + OH^-}$

Skoro $\mathrm{[H_3O^+]=[OH^-]}$, możemy błyskawicznie obliczyć stężenie jonów hydroniowych w czystej wodzie, w T = 25°C:

$!\mathrm{10^{-14}=[H_3O^+][OH^-]=[H_3O^+]^2\\ [H_3O^+]=\sqrt{10^{-14}}=10^{-7}}$

Po co nam to? Przyda się zarówno do stopnia dysocjacji, jak i do pH. 🙂

Stopień dysocjacji

Stopień dysocjacji oznacza się różnymi symbolami. Ja najczęściej używam symbolu α (alfa). Stopień dysocjacji definiujemy jako iloraz liczby cząstek zdysocjowanych do wszystkich cząstek obecnych w roztworze, pomnożony razy 100%. W ten sposób odpowiadamy więc na pytanie: jaki procent wszystkich cząstek uległ dysocjacji. Ponieważ jednak zarówno liczbę cząstek zdysocjowanych (liczbę moli kationów hydroniowych), jaki i liczbę wszystkich cząsteczek (liczbę moli wody w próbce nieuwzględniającą dysocjacji) mierzymy w tej samej objętości, możemy posłużyć się stężeniami:

$!\mathrm{\alpha=\frac{n_{H_3O^+}}{n^0_{H_2O}}\cdot 100\%=\frac{\frac{n_{H_3O^+}}{V}}{\frac{n^0_{H_2O}}{V}}\cdot 100\%=\frac{C_{H_3O^+}}{C^0_{H_2O}}\cdot 100\%}$

Ok, stężenie jonów hydroniowych $(\mathrm{H_3O^+})$ już mamy. Ale skąd znaleźć stężenie molowe wody w… wodzie? Brzmi idiotycznie, wiem, ale wcale nie jest takie głupie. Stężenie molowe wody w wodzie to po prostu odpowiedź na pytanie: ile moli cząsteczek wody znajduje się w jednym litrze czystej wody. No właśnie, ile? Bardzo prosto można to wyliczyć, wartość tę można także zapamiętać. Stężenie molowe to liczba moli substancji w jednym litrze (dm3) roztworu. Zatem wystarczy postawić sobie pytanie podobne do powyższego: jeden litr wody – ile to moli?

Znamy objętość wody: $1\ \mathrm{dm^3}$. Aby przeliczyć objętość na mole, musimy liczyć pośrednio – przejść z objętości na masę, a z masy na mole. Aby przejść z objętości na masę, potrzebna jest gęstość. Aby przejść z masy na liczbę moli, potrzebna jest masa molowa. No to liczymy!

Gęstość wody przyjmiemy jako $\mathrm{d=1\ \frac{kg}{dm^3}}$. Oczywiście można znaleźć w Internecie wartości dokładniejsze (szczególnie, że podano dokładną temperaturę), ja to sobie podarowałem (jestem leniwy, o ile lenistwem można nazwać prowadzenie tego bloga). Masa molowa wody to natomiast $\mathrm{M=18\ \frac{g}{mol}}$. Dokładniejsze wartości też sobie podarujemy, wystarczy ta przybliżona, obliczona na podstawie średnich mas atomowych. Można oczywiście podstawiać kolejno do wzorów, ja jednak zaproponuję ciekawą proporcję (góna linijka oczywiście na podstawie podanych przeze mnie wartości):

$!\mathrm{1\ mol\longrightarrow 18\ g\longrightarrow 0,018\ dm^3\\ x\ (mol) \longrightarrow 1\ dm^3\\ \ \\ x=\frac{1\ dm^3\cdot 1\ mol}{0,018\ dm^3}\approx 55,56\ mol}$

A zatem bez pudła możemy powiedzieć, że stężenie molowe wody w wodzie wynosi ok. 55,56 mola na decymetr sześcienny (55,56 M). Wykorzystujemy tę informację, podstawiamy do wzoru na stopień dysocjacji α i liczymy! 🙂

$!\mathrm{\alpha=\frac{C_{H_3O^+}}{C^0_{H_2O}}\cdot 100\%=\frac{10^{-7}\ \frac{mol}{dm^3}}{55,56\ \frac{mol}{dm^3}}\cdot 100\%\approx 1,80\cdot 10^{-7} \ \%}$

Widzimy więc, że czysta woda w temperaturze 25°C jest baaardzo słabiutko zdysocjowana, można więc przyjąć że czysta woda to czysta woda – w dobrym przybliżeniu praktycznie wcale nie dysocjuje. Śladowe ilości jonów pochodzących z autodysocjacji wody mają jednak ogromne znaczenie w niektórych procesach, na przykład podczas elektrolizy wody.

Życie byłoby zbyt piękne, gdyby wszystkie chemiczne problemy były takie proste. Stopień dysocjacji faktycznie liczy się tak, jak pokazałem, jednak obarczone jest to pewnymi… zaniedbaniami. Więcej informacji najdziesz w odrębnym artykule, poświęconym autodysocjacji wody – niebawem postaram się taki spłodzić. 🙂

pH

Ponieważ obliczyliśmy już stężenie jonów $\mathrm{H_3O^+}$ w czystej wodzie, obliczenie pH jest sprawą naprawdę banalną. Podstawiamy do wzoru i uzyskujemy wartość.

$!\mathrm{pH=-log[H_3O^+]=-log (10^{-7})=7}$

KWAS OCTOWY

Przy kwasie octowym nie jest aż tak prosto, jak przy czystej wodzie – pojawia się problem matematyczny zupełnie innego rodzaju. Mamy do czynienia przede wszystkim z równowagą kwasowo – zasadową, przy której nasz kwas octowy oddaje proton cząsteczce wody:

$!\mathrm{CH_3COOH + H_2O\rightleftharpoons H_3O^+ + CH_3COO^-}$

Nie będę specjalnie dosadnie komentował wszystkich możliwości podejścia do problemu, bo to zasługuje na osobny artykuł. 🙂 Obiecuję, że kiedyś takowy się pojawi. Tymczasem postąpimy standardowo – stopień dysocjacji wyliczyć można z definicji (podobnie jak dla wody) lub korzystając z prawa rozcieńczeń Ostwalda (jeszcze szybciej, tę metodę wykorzystam). Oczywiście do wszystkiego potrzebna jest nam stała równowagi reakcji dysocjacji kwasu octowego w wodzie:

$!K_\mathrm{a}=\mathrm{\frac{[H_3O^+][CH_3COO^-]}{[CH_3COOH]}}=10^{-4,75}\ \ \ \ \ \left (\mathrm{p}K_\mathrm{a}=4,75\right )$

Stopień dysocjacji

Korzystamy z prawa rozcieńczeń Ostwalda, aby najprostszą drogą wyliczyć stopień dysocjacji. Wzór wygląda następująco:

$!K_\mathrm{a}=\frac{\alpha^2 C_0 }{1-\alpha }$

Przyjęło się, że gdy $\alpha \le 5\%$ lub gdy $\frac{C_0}{K_\mathrm{a}}\ge 400$, to równanie można uprościć, nie popełniając przy tym dużego błędu. Zakładamy wtedy coś, co już na moim blogu się pojawiało:

$!1-\alpha=1-0,05=0,95\approx 1$

W tym przypadku jednak nie da się tego zrobić (policz sobie stosunek). Przyjdzie nam zatem rozwiązać równanie kwadratowe. Przekształcamy prawo rozcieńczeń Ostwalda tak, żeby uzyskać równanie kwadratowe w postaci ogólnej, gdzie naszą zmienną będzie stopień dysocjacji $(\alpha )$:

$!\alpha^2 C_0+K_\mathrm{a}\alpha -K_\mathrm{a}=0$

Rozwiązujemy jak Bóg przykazał (delta, te sprawy) to równanie i podstawiamy nasze wartości z zadania. Mi wyszło coś takiego (ujemną wartość stopnia dysocjacji oczywiście odrzuciłem):

$!\alpha\approx 0,1248=12,48\ \%$

pH

Jeżeli znamy stopień dysocjacji, obliczenie pH jest naprawdę dziecinnie proste. Korzystamy w tym celu z definicji stopnia dysocjacji:

$!\mathrm{\alpha=\frac{C_{H_3O^+}}{C_0}\cdot 100\%=\frac{C_{H_3O^+}}{0,001\ \frac{mol}{dm^3}}\cdot 100\%=12,48\ \% \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ C_{H_3O^+}=1,248\cdot 10^{-4}\ \frac{mol}{dm^3}}$

Korzystając z definicji pH i podstawiając stężenie jonów hydroniowych do wzoru, natychmiast otrzymujemy odpowiedź:

$!\mathrm{pH=-log[H_3O^+]=-log(1,248\cdot 10^{-4})\approx 3,90}$