Konkurs #1 – rozwiązanie. Zasada nieoznaczoności.

Mimo moich małych obaw, konkurs został rozstrzygnięty bardzo szybko! Poprawnej odpowiedzi udzielił Daniel Korczyński. Dziękuję i gratuluję, czekam na wybrany temat artykułu! 🙂 Pytałem, jakie prawo nadaje sens dowcipowi pochodzącemu z facebookowej strony Che Che Chemiczne Żarty:

Jedzie elektron na motorze, i nagle zatrzymuje go policja.
– Czy wie pan, że jechał pan 250 km/h?
– No dzięki, to teraz nie wiem gdzie jestem.

Prawo, o które pytałem, to zasada nieoznaczoności Heisenberga, zwana czasem krócej zasadą nieoznaczoności. W tym miejscu chciałbym troszeczkę o niej opowiedzieć. Odwołujemy się do niej w świecie cząstek elementarnych (mikroświecie), czyli, mówiąc nieco ładniej, przy opisie obiektów kwantowych.

Co to są obiekty kwantowe? Na przykład cząstki elementarne – bardzo małe obiekty, do opisu których nie wystarcza nam tzw. mechanika klasyczna (taka, jakiej uczą w szkole średniej). Sięgamy wtedy po tzw. mechanikę kwantową, która uwzględnia złożoną naturę małych cząstek – zarówno to, że są (lub nie!) materialnymi cząstkami oraz ich naturę falową. O tym w przyszłości jeszcze sporo u mnie poczytasz. 🙂

W ogromnym skrócie zasada ta mówi nam o tym, że nie jesteśmy w stanie zmierzyć jednocześnie, z dowolną dokładnością, położenia i pędu cząstki. Właściwie zasada nieoznaczoności nie ogranicza się tylko do tych dwóch wielkości, chociaż w podanej przeze mnie wersji jest na pewno najbardziej znana. O co tak naprawdę chodzi?

Mechanika kwantowa ma bardzo specyficzne właściwości, których czasami nie sposób zrozumieć! Oczywiście nie biorą się one znikąd, często zostają wyprowadzone z innych, pozornie oczywistych zależności. Są jednak tak bardzo niejasne i sprzeczne z naszą intuicją, że mózg zupełnie się na nie zamyka. My wyciśnijmy z niego tyle, ile zdołamy. 😀

Konkretniej rzecz biorąc, im bardziej dokładnie wyznaczamy pęd cząstki, tym mniej dokładnie jesteśmy w stanie określić jej położenie i odwrotnie – im dokładniej określamy położenie drobiny, tym wyznaczenie jej pędu musi być mniej dokładne. Ale z czego to wynika? Nie, nie chodzi tu o badziewne przyrządy pomiarowe, które zwyczajnie nie są w stanie ogarnąć, co dokładnie dzieje się z tą pędzącą kulką (mowa o cząstce, do której cały czas się odwołuję). Taka jest nasza rzeczywistość.

Choć pozornie brzmi to zupełnie bez sensu, każdy pomiar dokonywany w jakimś układzie w mikroświecie nieodwracalnie zmienia stan tego układu, przez co część informacji o jego stanie sprzed pomiaru zostaje utracona. Nawet jeżeli byliśmy zupełnie biernymi obserwatorami, w żaden sposób nie zakłóciliśmy badanego układu, dzieje się tak nadal. Nie chodzi o fizyczną („rzeczywistą”) zmianę stanu układu. Na przykład, wciskając sondę pomiarową w ciasto, bez wątpienia naruszamy jego strukturę, więc nie będzie to nigdy to samo ciasto, w które wpychaliśmy sondę. Ale nie w tym rzecz! Chodzi o to, że sam fakt pomiaru jednej wielkości powoduje automatycznie bezpowrotne utracenie informacji o innej wielkości w tym układzie. To tak, jakby zmieniać własności tego ciasta tylko na nie patrząc (cokolwiek mierząc). Nie brzmi zbyt rozsądnie, prawda? A jednak tak jest!

Wiele już było pomysłów na to, jak złamać tę zasadę, z którą usilnie nie chciało się zgodzić wielu wybitnych uczonych, w tym na przykład Albert Einstein! Jeżeli Cię to interesuje lub ciekawi Cię sama zasada nieoznaczoności, czy też chemia kwantowa, bardzo polecam książkę prof. Lucjana Pieli: Idee chemii kwantowej. Jestem szczęśliwy, że – choć bardzo krótko – miałem przyjemność uczestniczyć w prowadzonych przez Profesora zajęciach. W wydaniu pierwszym o samej zasadzie poczytasz od 31 strony. Uprzedzam tylko, że pasjonat chemii kwantowej nie może bać się matematyki!

Dokładne, matematyczne sformułowanie zasady nieoznaczoności wygląda następująco:

$!\Delta x\cdot \Delta p_x\ge \frac{\hbar}{2}$

Już tłumaczę, co to za wzór. $\Delta x$ to błąd standardowy pomiaru wielkości $x$- położenia cząstki. $\Delta p_x$ to błąd standardowy wyznaczenia pędu cząstki. Mały indeks $\ _x$oznacza, że chodzi tutaj o składową pędu w kierunku osi x. Co to znaczy? To tak, jakby cząstka mogła się znaleźć tylko na osi liczbowej (oznaczonej symbolem x), lecąc z pewną prędkością w prawo lub w lewo, cały czas tylko po tej osi. Pęd tej cząstki będzie wtedy wyrażony jako iloczyn masy i prędkości cząstki: $p_x=m\cdot v_x$, a położenie $x$jako aktualna odległość cząstki od punktu zero na osi liczbowej, z różnym znakiem („-” gdy jest na lewo, „+” gdy jest na prawo). Mamy wtedy przestrzeń jednowymiarową! 🙂 Często różne skomplikowane problemy dotyczące cząstek omawia się właśnie w jednym wymiarze, ponieważ wyglądają wtedy znacznie prościej i faktycznie – są bardziej dla ludzi. 🙂

Wyrażenie powyżej jednoznacznie mówi, że iloczyn błędów wyznaczenia prędkości i pędu nie może być mniejszy od $\frac12\hbar$. Wielkość oznaczona symbolem $\hbar$- bo masz prawo tego nie wiedzieć – to pewna dodatnia stała, zwana zredukowaną stałą Plancka. Skoro iloczyn błędów może być tylko równy lub większy od pewnej stałej, to wiadomo, że mamy kłopot – nie wyznaczymy dokładnie obu tych wielkości. Dokładne wyznaczenie położenia lub pędu oznacza, że błąd standardowy tego wyznaczenia będzie równy zero. Jak widać nie jest to możliwe – jeżeli będziemy mieli

$\Delta x=0\ \ \ $ lub $\ \ \ \Delta p_x=0$

lub co gorsza wyzerują się nam obie delty, nierówność nie może być spełniona (zero nie jest ani równe, ani większe od dodatniej stałej, zgódź się ze mną proszę :)). Zatem wiemy już jedno – nie da rady dokładnie (idealnie) wyznaczyć żadnych wielkości w kwantowym mikroświecie (a przynajmniej tych, które da się podpiąć pod zasadę nieoznaczoności). Można jednak wyznaczać je z zadowalającą dokładnością (jednak nie stuprocentową).

Jeżeli jednak znasz funkcję $y=\frac1{x}$, której wykresem jest hiperbola lub liczyłeś już jakieś granice na zajęciach z matematyki, powinieneś ogarnąć, że nawet jeżeli jakaś wielkość zbliża się wciąż do zera, może być tak, że mimo wszystko nigdy tego zera nie osiągnie. Tak jest właśnie z wartościami funkcji $y=\frac1{x}$ w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych (na górze po prawej). Cały czas te wartości maleją, ale do zera nigdy nie dojdą. Podobnie jest z błędami $\Delta x$i $\Delta p_x$ – nigdy nie będą równe zero, ale można próbować je sukcesywnie zmniejszać, aż będą nieskończenie blisko zera.

Czy jednak da się to zrobić z obiema naraz? Pomyślmy. Niestety nie. Jeżeli iloczyn dwóch wielkości musi się mieścić w jakimś przedziale, nie da się tego zrobić. Korzystając ze znanego Ci z lekcji matematyki zapisu:

$(\Delta x\cdot \Delta p_x)\in \ \left\langle\frac12\hbar ,+\infty\right)$

Jedyne, co tu zrobiłem, to nierówność wynikającą z zasady nieoznaczoności zapisałem w postaci przedziału. Skoro iloczyn dwóch wielkości (u nas: dwóch delt) musi się mieścić w pewnym przedziale, to gdy wciąż zmniejszamy jedną z tych wielkości (błąd wyznaczenia położenia), druga musi odpowiednio urosnąć (błąd wyznaczenia pędu). To jest dokładnie to, o czym mówi zasada nieoznaczoności Heisenberga! Im dokładniej wyznaczymy jakąś wielkość (zmniejszymy jej błąd), tym mniej dokładnie wyznaczymy tę drugą (jej błąd się zwiększy).

Co jednak, jeżeli uprzemy się na jak najbardziej dokładne wyznaczenie pędu? Zmniejszamy, zmniejszamy i zmniejszamy $\Delta p_x$. W końcu możemy powiedzieć, że $\Delta p_x$ dąży do zera (oznaczamy to symbolem $\Delta p_x\rightarrow 0$). Co jednak dzieje się wtedy z błędem wyznaczenia położenia? Niestety, dąży on do nieskończoności: $\Delta x\rightarrow \infty$. Zatem bardzo dokładnie wyznaczony pęd cząstki sprawia, że zupełnie nie mamy pojęcia, gdzie ta cząstka się znajduje (jakie jest jej położenie, ponieważ bliski nieskończoności błąd jej wyznaczenia sprawia, że tak naprawdę może być wszędzie). I to należało wiedzieć, żeby zrozumieć ten dowcip. 😀

Dowiedziałeś się znacznie więcej, niż było Ci trzeba do załapania tego mało śmiesznego żartu, jednak mam nadzieję, że tylko pobudziłem Twoją ciekawość i przekazałem zalążek kwantowego sposobu myślenia. 🙂 Do usłyszenia!